Il modello Black-Litterman

Abbiamo già discusso in varie occasioni il modello media-varianza di Markowitz, la sua genesi e le sue applicazioni operative. Tuttavia, a livello empirico esso presenta dei problemi di implementazione: spesso i pesi definiti dall’asset allocation sono troppo variabili nel tempo, o assumono valori estremi. Pertanto, per quanto sia un modello cardine nel modo di ragionare nel contesto dell’asset allocation, è necessario un modello alternativo. L’alternativa è rappresentata dal modello Black-Litterman, che cerca di unire le aspettative del mercato con le “views” dell’investitore.

L’idea di base e le ipotesi

Il modello prende il via partendo dal presupposto che il mercato ha delle aspettative sui rendimenti basate sulle informazioni di dominio pubblico, ma che l’investitore può averne differenti se in possesso di informazioni ancora non pubbliche (private) o semplicemente per personali considerazioni. Pertanto il punto di partenza è il mercato con le sue aspettative, da cui poi l’investitore deciderà, in base alle proprie “views”, se discostarsene o meno. Ovviamente, qualora l’investitore non abbia informazioni private oppure, nonostante in possesso delle stesse, abbia le medesime aspettative del mercato, egli investirà nel portafoglio di mercato, che può essere approssimato da un indice ben diversificato.

Tra le ipotesi sottostanti il modello troviamo che il portafoglio di mercato deve essere efficiente nel senso media-varianza, che la sua allocation sia nota, e che siano noti (oppure stimati accuratamente) il coefficiente di avversione al rischio e la volatilità dei ritorni degli asset in cui si vuole investire.

Gli sviluppi

Senza entrare nell’algebra del modello possiamo coglierne l’intuizione e i risvolti pratici. Innanzitutto, quando parliamo di “aspettative” e “views” lo facciamo in riferimento ai rendimenti, quindi è necessario definire due distribuzioni di rendimenti, una che segue le aspettative del mercato e una che segue le “views” personali dell’investitore. Esse saranno definite secondo la rispettiva media e varianza, tenendo presente che la varianza dei rendimenti sotto le views è un indice del grado di sicurezza che l’investitore ha circa le proprie aspettative private: maggiore è la varianza minore sarà la fiducia nelle proprie views. Ovviamente, nel caso in cui le medie e le varianze coincidessero, ciò vorrebbe dire che le views coinciderebbero con le aspettative del mercato, e quindi, di nuovo, converrebbe direttamente investire in un indice ben diversificato. Nel caso in cui invece divergessero occorre risolvere un problema di minimi quadrati per trovare il rendimento obiettivo. L’idea è che se il mercato ha un’aspettativa circa i ritorni futuri e l’investitore ne ha un’altra, per capire in che modo allocare gli asset occorre prima definire un rendimento da raggiungere, e questo rendimento è proprio quello che minimizza la distanza tra i due rendimenti ipotizzati dal mercato e dal privato. Trovato questo rendimento, avvalendosi del calcolo matriciale, si giunge così ad una formula che può essere sintetizzata matematicamente, ossia il rendimento obiettivo che cerchiamo è null’altro che la somma tra il rendimento atteso dal mercato e il prodotto tra un coefficiente con la differenza (spread) tra il rendimento atteso dalle views private e il rendimento atteso dal mercato. Appare dunque evidente che, qualora il rendimento atteso dalle views sia lo stesso di quello previsto dal mercato, la spread position sarà nulla e il rendimento obiettivo coinciderà con quello del mercato, confermandosi quanto detto in precedenza. Inserendo questo rendimento obiettivo nella formula dei pesi nel modello di Markowitz (che tiene conto anche di un fattore di avversità al rischio) possiamo così finalmente dedurre il peso ottimo da investire nel portafoglio rischioso tenendo conto contemporaneamente sia delle informazioni pubbliche sul mercato, sia delle proprie private informazioni e considerazioni.


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