La teoria dei giochi e l’equilibrio di Nash

La teoria dei giochi studia i comportamenti di più individui che interagiscono tra loro. L’interazione tra i soggetti può essere di carattere cooperativo o conflittuale, ma in ogni circostanza l’obiettivo è quello della massimizzazione del guadagno di ciascun soggetto.

La nascita della teoria dei giochi porta la firma di John Von Neumann e Oskar Morgenstern, che in “Theory of Games and Economic Behavior” analizzarono il comportamento individuale in termini matematici cercando di dare una spiegazione alle azioni interattive tra gli individui. Tuttavia il contributo fondamentale alla teoria dei giochi, in special modo per i cosiddetti “giochi non cooperativi”, arrivò da John Forbes Nash e ciò gli valse il Nobel per l’economia nel 1994.

La teoria dei giochi parte dal presupposto che l’obiettivo dei giocatori è vincere e prevede la conoscenza delle regole del gioco e dei risultati ottenibili (cioè il payoff) in ogni singola mossa. Ogni giocatore può decidere un numero finito di azioni e questo determina la sua strategia, che può portare a diversi payoff (positivi in caso di guadagno, negativi in caso di perdita). Le diverse strategie possono essere rappresentate mediante una matrice in cui vengono inseriti i payoff corrispondenti a tutti i risultati possibili oppure mediante l’albero delle decisioni, in cui vengono rappresentate le sequenze delle decisioni con tutte le possibili combinazioni delle giocate.

Giochi cooperativi e non cooperativi

I giochi possono essere classificati in vari modi, ma in economia la classificazione più rilevante è quella che distingue tra cooperativi e non cooperativi. I giochi cooperativi si hanno quando gli interessi dei giocatori non sono in contrapposizione diretta tra loro, ma esiste un interesse comune. Per tale ragione si osserva un’associazione, mediante accordi vincolanti, tra i diversi attori, con lo scopo di migliorare il proprio payoff ed ottenere un risultato migliore. Tali giochi in economia non sono molto presenti, in quanto sui mercati esiste spesso una concorrenza tra i diversi partecipanti.

Nei giochi non cooperativi le parti non possono stipulare accordi e sono in concorrenza tra di loro. In questa situazione ogni giocatore ha lo scopo di perseguire la strategia che risulta essere più vantaggiosa per lui; nel caso in cui esista una strategia che massimizzi i guadagni per tutti i giocatori allora si parla di punto di equilibrio o equilibrio di Nash. Nessun agente razionale ha interesse a cambiare tale strategia, che rappresenta quella dominante. Tuttavia si deve sottolineare come l’equilibrio di Nash non sia la soluzione migliore per tutti: infatti se i giocatori decidessero di allontanarsi congiuntamente dall’equilibrio potrebbero migliorare il proprio guadagno. Ciò è evidente nel dilemma del prigioniero, illustrato nello schema che segue.

Se i giochi sono ripetuti nel tempo si possono ottenere risultati finali diversi pur mantenendo uguali le condizioni e lo schema di gioco iniziale (ripetendo un numero infinite di volte il dilemma del prigioniero si raggiunge un equilibrio diverso).

Dilemma del Prigioniero

Due criminali (A e B) sono accusati di aver commesso un reato e sono messi in due celle diverse non comunicanti. Ognuno di loro può decidere di collaborare o non collaborare. I relativi payoff sono:

  1. Se uno collabora ed accusa l’altro evita la pena, mentre l’altro è condannato a 10 anni

  2. Se entrambi si accusano tra loro ricevono una pena di 7 anni

  3. Se nessuno collabora ricevono entrambi una pena di 2 anni

dilemma del prigioniero

L’equilibrio di Nash in questo gioco è (7,7), cioè la strategia “collabora-collabora”, in quanto è l’unica che minimizza la possibile condanna massimizzando l’utilità, indipendentemente da ciò che farà l’avversario. Tuttavia come si può notare il risultato migliore sarebbe quello di non collaborare per entrambi (2,2). Questo risultato può essere raggiunto soltanto nel caso in cui il gioco sia ripetuto all’infinito.

Le applicazioni della teoria dei giochi

La teoria dei giochi può essere applicata nei campi più disparati oltre a quello economico; in particolare ha svolto un ruolo fondamentale nel corso della Guerra Fredda, in cui è stata applicata per descrivere la corsa agli armamenti tra le varie potenze e per determinare le risposte che avrebbero dovuto attuare gli Stati Uniti in caso di attacco dell’URSS.

Nelle discipline economiche la teoria è applicata soprattutto nel ramo della microeconomia, per lo studio del comportamento dei singoli agenti che operano in condizioni di risorse limitate. In particolare è utilizzata per l’analisi delle situazioni in cui l’utilità di un individuo non dipende soltanto dalle sue azioni, ma anche da quelle intraprese dagli altri; ciò è particolarmente utile per tutti i casi in cui non si è in presenza di monopolio, ma sono presenti più imprese sul mercato (dal duopolio all’oligopolio).

Un’applicazione poco nota della teoria dei giochi riguarda la valutazione dei derivati nel caso in cui ci si trovi in presenza di informazione completa. In tale tipologia di gioco si conosce la storia delle giocate precedenti e, mediante la rappresentazione ad albero, si può sapere in quale nodo ci si trova. In questo approccio si separa la valutazione dei payoff dei derivati (opzioni in particolare) dall’analisi delle possibili interazioni strategiche; i payoff sono determinati secondo il modello utilizzato per quel particolare tipo di derivato, mentre per le interazioni si ricorre alla teoria dei giochi.

Usando la valutazione dei derivati si ottiene un valore per i payoff dei diversi soggetti, che sono inseriti nel gioco per essere analizzati. Per prima cosa si ha la valutazione delle azioni possibili e le relative sequenze per i giocatori e, dopo aver calcolato i diversi payoff, partendo dall’ultimo periodo e procedendo a ritroso si determinano le strategie ottime per i giocatori fino ad arrivare al tempo iniziale. Alla base di questa metodologia si ha la sostituzione del concetto di utilità attesa con quello di massimizzazione del valore dell’opzione, che si considera come un’approssimazione dell’utilità marginale di un individuo.

Infine, la teoria dei giochi si può applicare anche negli investimenti, quando per esempio siamo di fronte a delle perdite e si pone il dilemma se limitarle liquidando la posizione oppure se continuare a mantenerla. In conclusione, la teoria dei giochi riveste un ruolo fondamentale nell’economia e nelle azioni quotidiane, in quanto siamo sempre posti davanti a decisioni che comportano l’interazione strategica con altri soggetti.


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